GABARITO: ALTERNATIVA B

Para resolver essa questão, precisamos ter conhecimento acerca das propriedades dos senos e dos cossenos.

Pela análise da fórmula do enunciado é que o aluno deve inferir qual o caminho a ser tomado. No caso em questão, como 72 = 2 × 36, isso funciona como indício de que a propriedade que devemos aplicar é a da identidade sen (2a)=2.sen(a) × cos(a).

O primeiro passo, então, é multiplicar y = cos(36º) × cos(72º) pelo fator 2.sen(36º)/2sen(36º):

y = [2.sen(36º) × cos(36º) × cos(72º)] / 2sen(36º)

Note que 2.sen(36º) × cos(36º) = sen(72º). Então:

y = [sen(72º) × cos(72º)] / 2sen(36º)

Repetimos o processo, agora multiplicando y = y = [sen(72º) × cos(72º)] / 2sen(36º) pelo fator 2/2:

y = [2.sen(72º) × cos(72º)] / [2 × 2sen(36º)]

Note que 2.sen(72º) × cos(72º) = sen(144º). Então:

y = [sen(144º)] / [4.sen(36º)]

y = sen(144º) / 4.sen(36º)

Note que 144 e 36 são ângulos suplementares, pois sua soma é 180.

Uma propriedade do seno de dois ângulos suplementares é sen(a) = sen(180º - a)

Logo, sen(36º) = sen(180º - 36º)

sen(36º) = sen(144º)

Como y = sen(144º) / 4.sen(36º), então:

y = sen(36º) / 4.sen(36º)

y = 1/4