GABARITO: LETRA E.

Para responder essa questão, vamos relembrar os conceitos de semelhança de triângulos e teorema de Pitágoras. Vejamos:

- A semelhança de triângulos consiste na proporção entre dois ou mais triângulos, ou seja, são proporcionais, se e somente se, todos os seus lados e ângulos internos forem proporcionais a outro triângulo.

- O teorema de Pitágoras diz que o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos, ou seja:

Dada a figura a seguir, o triângulo ABC é equilátero, D é ponto médio de e BDEF é um quadrado.

Sabendo que , devemos calcular a medida de

Dado que:

ABC é equilátero, então todos os lados medem 5;
D é o ponto médio de , então:
BDEF é um quadrado, ou seja, todos os lados têm comprimento 5.

Perceba que pela semelhança dos triângulos, podemos concluir que:

Aplicando o teorema de Pitágoras, podemos encontrar o valor de :

Fatorando, temos:

Por fim, usando semelhança de triângulos, temos:

Sabemos que,, portanto:

Substituindo na fórmula, temos:

Multiplicando cruzado, temos:

Simplificando e isolando , temos:

Multiplicando a fração por , temos:

Usando a propriedade distributiva de fração, temos:

Logo, a medida de é Portanto, a alternativa correta é a letra E.