ALTERNATIVA E (16√3)

Repare que se trata de um triângulo equilátero, ou seja, os três lados são iguais.

Portanto, podemos afirmar que os segmentos BE e BA também possuem 8 cm bem como o os segmentos CE e ED possuem 4 cm

Todavia, por se tratar de um retângulo não sabemos as medidas dos seguimentos BC ou AD, já que estas retas podem ser maiores ou menos que os segmentos BE e BA.

Note que as áreas sombreadas são formadas por triângulos retângulos (triângulos que possuem o ângulo de 90 graus, no caso o ângulo reto, e outros dois ângulos agudos) exatamente iguais.

O que nos interessa é justamente calcular o valor dessas áreas sombreadas e a informação que nos falta é justamente o valor das medidas dos seguimentos BC ou AD.

Sendo assim, para calcular estes valores vamos usar o cálculo da hipotenusa:

CO² + CA² = H²

Esta é uma parte importante na resolução da questão. Saber qual é a hipotenusa é uma ferramenta essencial para o desenvolvimento do cálculo já que, se não souber identificá-la, o resultado final estará errado. Portanto, nunca se esqueça: a hipotenusa é o lado do triângulo que está oposto ao ângulo reto (neste caso, o seguimento BE):

CO² + CA² = H²

4² + CA² = 8²

16 + CA² = 64

16 - 64 = -CA²

-48 = -CA²

CA = √48

Para simplificar a raiz quadrada, vamos decompor o radicando em números primos:

48/2

24/2

12/2

06/2

03/3

2²*2²*3

Repare que temos dois números elevados ao quadrado (a mesma potência da raiz) e outro número não elevado a qualquer potência. Quando isso ocorre, mantemos os números não elevados a qualquer potência no radicando (ou seja, o 3 continua na raiz) e os valores elevados ao quadrado deixam de ser potencializados e multiplicam-se entre si (2*2 = 4). Este valor irá multiplicar a raiz (4 * √3)

Então teremos: H = 4√3

Agora que sabemos as medidas de todos os lados de cada triângulo, vamos calcular a área de uma das partes sombreadas:

Área do triângulo = (base (b) * altura (h))/2

4*4√3/2

8√3

Como temos duas áreas sombreadas com a mesma área, basta multiplicar agora este valor por 2:

8√3*2 = 16√3 (alternativa E)