GABARITO: LETRA D.

Para resolver a questão, vamos relembrar a definição e algumas propriedades de integral indefinida. Vejamos:

- A integral indefinida, também conhecida como antiderivada ou primitiva, é uma função que representa o inverso da operação de derivada. Ela é definida como segue:

Onde:

F(x) é a primitiva ou antiderivada de f(x)

C é uma constante arbitrária chamada constante de integração

De acordo com o enunciado, a região R no plano xy é definida pelas condições x ≥ 0 e 4x³ - 3x ≤ y ≤ x. Para encontrarmos a área de R, vamos inicialmente entender as duas inequações dadas.

A função superior é y = x e a função inferior é y = 4x³ - 3x. A região é limitada a valores de x ≥ 0, mas precisamos determinar o intervalo de x em que a função inferior está abaixo da função superior.

Inicialmente, precisamos encontrar os pontos de interseção entre as duas funções. Assim, basta resolvermos igualarmos as duas equações:

x = 4x³ - 3x

0 = 4x³ - 3x - x

0 = 4x³ - 4x

Fatorando a expressão, temos:

4x(x² - 1) = 0

4x(x - 1)(x + 1)

As soluções dessa equação são x = 0, x = 1 e x = −1. Como estamos considerando x ≥ 0, o intervalo relevante para a integração é de x = 0 a x = 1.

Agora que sabemos que as funções se interceptam em x = 0 e x = 1, podemos calcular a área da região R no intervalo [0,1]. A área é dada pela integral da diferença entre a função superior y = x e a função inferior 4x³ - 3x. Vejamos:

Separando as integrais, temos:

Em seguida, vamos resolver separadamente:

Substituindo em (I), temos:

Logo, a área da região R vale 1. Portanto, a alternativa correta é a letra D.