Nessa questão vamos os nossos conhecimentos sobre taxas equivalentes.

Dizemos que duas taxas de juros são equivalentes quando são capazes de levar o mesmo capital inicial C ao montante final M, após o mesmo intervalo de tempo.

Por exemplo, sabemos que a taxa efetiva de 12% ao ano leva o capital C ao montante final 1,12C após o período de 1 ano.

Existe uma taxa de juros mensal, i equivalente, que é capaz de levar o mesmo capital inicial C ao montante final 1,12C após transcorrido o mesmo período (1 ano, ou 12 meses).

Esta é a taxa mensal efetiva, com capitalização mensal, que é equivalente à taxa anual de 12% com capitalização anual. Será válida a seguinte relação:

Ou seja, dado um capital inicial C, depois de um ano teremos o mesmo montante se:

aplicarmos a taxa efetiva de 12 ao ano - capitalização anual
aplicarmos a taxa efetiva mensal dada pela expressão acima - capitalização mensal.

Importante também diferenciarmos taxa nominal e taxa efetiva.

Taxa nominal é definida em período de tempo diferente do período de capitalização.

Exemplo: 12% ao ano, capitalizados mensalmente.

Taxa efetiva é aquela onde o período de capitalização é igual da unidade temporal da taxa.

Exemplo: 10% ao ano, com capitalização anual.  2% ao mês, com capitalização mensal.

Se temos uma taxa efetiva quadrimestral, por exemplo, podemos querer saber qual a taxa efetiva mensal correspondente. Generalizando, se temos uma taxa efetiva para uma determinada unidade de tempo, podemos estar interessados em obter a taxa efetiva equivalente em outra unidade de tempo.

Vamos a um exemplo: se temos uma taxa efetiva de 12% ao ano, qual seria a taxa efetiva mensal? Para isso, lançamos mão da seguinte relação:

A expressão acima nos diz que uma taxa de juros de 12 ao ano, com capitalização anual, por isso uma taxa efetiva anual, é equivalente a uma taxa efetiva mensal dada por i mensal.

Agora, vamos notar uma diferença. Se a questão nos diz que temos uma taxa de 12% ao ano com capitalização mensal, a nossa taxa mensal efetiva equivalente será de 12%/12 meses = 1%. Isso porque a taxa de 12% ao ano com capitalização mensal é uma taxa nominal. A Taxa Efetiva por período de capitalização é proporcional à taxa nominal. Aí poderíamos calcular a taxa efetiva anual corresponde à taxa nominal de 12% ao ano com capitalização mensal. Teríamos a seguinte expressão:

Vamos generalizar a relação para juros compostos. Considere que um capital C é aplicado por 1 ano a taxas equivalentes nas referências descritas na tabela abaixo.

Utilizando a fórmula dos Juros Compostos, M = C(1+i)n, temos que

Do que resulta,