Alternativa correta: B -> 72

Para calcular quantos modos podemos formar uma roda de ciranda com seis crianças, de modo que duas delas não fiquem juntas, primeiro devemos qualquer o total de possibilidades que temos e depois retirar o caso indesejado.

Para isso, podemos realizar de duas formas:

Podemos nos lembrar da formula da permutação circular e aplica-la.
Podemos calcular pelo principio fundamental da contagem e analisar o caso.

Forma 1) Pela formula da permutação circular (PC) temos que:

PC (n) = n!/n , onde ! é o fatorial.

Assim, para 6 crianças ficamos com:

PC(6)= 6!/6 = 6.5.4.3.2.1/6 = 120 casos.

E em seguida calcular os casos indesejados, que é quando as crianças se sentam juntas. Assim, podemos considerá-las como uma criança só, tendo:

PC(5) = 5!/5 = 5.4.3.2.1/5=24

Como essas duas crianças podem trocar de lugar, temos que descontar o 24 duas vezes:

Ficando com: 120-24-24= 72 modos.

Forma 2) Caso não estejamos lembrados da formula da permutação circular, podemos resolver o exercício com o seguinte raciocínio abaixo.

Para calcular quantos modos podemos formar uma roda de ciranda com seis crianças, de modo que duas delas não fiquem juntas, primeiro devemos qualquer o total de possibilidades que temos e depois retirar o caso indesejado.

Assim, observe a imagem abaixo como sendo uma roda de ciranda com 6 crianças.

Para calcular o todos os casos que temos, pensamos da seguinte forma:

Em um espaço, podem se sentar qualquer uma das 6 crianças.
No outro espaço, podem se sentar 5 crianças, pois uma já havia se sentado.
Num espaço diferente dos anteriores, podem se sentar 4 crianças, uma vez que duas já se sentaram.
Num outro espaço, podem se sentar 3 crianças, pois três já se sentaram.
No penúltimo espaço, 2 crianças podem se sentar, pois foram as que restaram.
E no ultimo espaço, só temos uma possibilidade que seria a unica criança que não se sentou.

Ficamos assim com:

E faremos a multiplicação desses valores: 6.5.4.3.2.1 = 720, tendo uma permutação das crianças.

Porém, devemos nos lembrar que se trata de uma roda, e nessa roda os valores podem girar, deixando repetição. Com isso, é necessário retirar essas repetições, dividindo por 6, que seria o total de repetições que esse esquema poderia sofrer.

Faremos então 720 : 6 = 120 casos totais.

Terminamos de encontrar o número total de casos que temos para 6 crianças formarem uma roda de ciranda. Devemos agora retirar os casos indesejados.

Para isso, devemos considerar que as duas crianças se sentaram juntas. Para isso, podemos considerá-las como um bloco só, da seguinte maneira:

Onde em vermelho temos as duas crianças sentadas juntas e agora meu total de possibilidades é 5.4.3.2.1 com 5 repetições que devem ser retiradas, assim temos:

5.4.3.2.1 / 5 = 120 /5 = 24 casos indesejados.

Devemos nos lembrar que essas crianças que estão sentadas juntas podem trocar de lugar, assim o 24 deve ser descontado duas vezes.

Tendo então: 120 - 24 -24 = 72 modos de formar uma roda de ciranda com 6 crianças, de modo que duas delas não fiquem juntas.