GABARITO: ALTERNATIVA D.

A questão pede conhecimentos sobre fatoração.

Fatorar um número é decompô-lo em produto de fatores primos.

Para isso, divide-se o número entre seus divisores primos tantas vezes quantas forem necessárias, até obter como quociente a unidade.

Começa-se sempre dividindo o número pelo menor divisor possível, depois vai aumentando os divisores até que o resultado seja igual a 1.

Ex.: 840

Temos:

Visto isso, vamos à questão.

Pergunta-se de quantos modos o número 360 pode ser decomposto como um produto de dois inteiros positivos. Consideramos ab=ba.

Primeiramente, precisamos calcular a quantidade de divisores positivos de 360, ou seja, vamos fatorar o número 360.

Vejamos:

Portanto, temos:

360 = 2³ * 3² * 5¹

Multiplicamos entre si os sucessores dos expoentes:

(3+1) * (2+1) * (1+1)

4 * 3 * 2 = 24

Ou seja, existem 24 divisores do número 360.

Esses divisores seguem a forma 2a * 3b * 5c

Com:

0 ≤ a ≤ 3 ; 0 ≤ b ≤ 2 e 0 ≤ c ≤ 1

Ex:

2^0 * 3^0 * 5^0 = 1

2¹ * 3^0 * 5^0 = 2

2^0 * 3¹ * 5^0 = 3

2² * 3^0 * 5^0 = 4

2^0 * 3^0 * 5¹ = 5

Colocando todos os divisores em uma lista, temos:

1º = 1

2º = 2

3º = 3

4º = 4

5º = 5

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

20º = 72

21º = 90

22º = 120

23º = 180

24º = 360

Para cada um desses divisores existe um número inteiro "x" tal que o produto de x com o divisor resulta em 360.

Dessa forma, para encontrar os valores de x, basta dividir 360 pelo divisor em cada linha da lista. Vejamos:

Primeiro fator e Segundo fator

1º = 1 * 360

2º = 2 * 180

3º = 3 * 120

4º = 4 * 90

5º = 5 * 72

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

20º = 72 * 5

21º = 90 * 4

22º = 120 * 3

23º = 180 * 2

24º = 360 * 1

Em cada uma das 24 linhas da lista acima, o produto entre primeiro e segundo fator resulta no número 360.

Precisamos observar que os resultados estão repetidos: a primeira linha (1 * 360) é igual a vigésima quarta linha (360 * 1).

A segunda linha (2 *180) é igual a vigésima terceira linha (180 *2), assim sucessivamente.

Portanto, a quantidade de produtos de dois números inteiros que resulta em 360 corresponde à metade de 24, vale 12.

Sendo assim, a alternativa D é o gabarito da questão.