ALTERNATIVA (B)

Análise Combinatória é estudo de técnicas que permitem resolver problemas relacionados com contagem.

1) Contagem Simples

a. Princípio Multiplicativo

- palavra-chave: E

- eventos sucessivos e independentes

- deve-se MULTIPLICAR os eventos

Na prática:

Escolher o presidente e o vice-presidente de um grupo com 5 pessoas

- 1ª etapa: 5 possibilidades

- 2ª etapa: 4 possibilidades

- Total: 5.4 = 20 possibilidades

b. Princípio Aditivo

- palavra-chave: OU

- “dividir para conquistar”

- deve-se SOMAR os eventos e SUBTRAIR a intersecção

Na prática:

Entre 1 e 30, contar números que terminam em 0 ou são múltiplos de 5:

- 1ª opção: terminam com 0

{10, 20, 30} => 3 possibilidades

- 2ª opção: múltiplos de 4

{4, 8, 12, 16, 20, 24, 28} => 10 possibilidades

- Intersecção: terminam com 0 e são múltiplos de 4

{20} => 1 possibilidade

- Total: 3 + 10 - 1 = 9 possibilidades

2) Permutação

- formas de ordenar n elementos distintos

Pn = n!

Na prática:

Formas de ordenar as letras da palavra AMOR

P4 = 4!

Permutação Circular:

- a diferença de uma permutação circular para uma permutação simples, se deve ao fato que algumas sequências são consideradas iguais.

Exemplo: se colocados em círculo, as sequências a seguir são iguais => ABCD = DABC = CDAB = BCDA

Assim sequência de permutações de N elementos, temos N iguais.

PCn = n!/n

Na prática:

Formar de ordenar 4 pessoas em torno de uma mesa redonda

PC4 = 4!/4

3) Permutação com Repetição

- formas de ordenar n elementos com n1, n2, ... elementos repetidos

Pn(n1, n2, ...) = n! / (n1!.n2!...)

Na prática:

Formas de ordenar as letras da palavra BANANA

* letra A repete 3x, letra N repete 2x e letra B repete 1x

P6(3,2,1) = 6! / (3!.2!.1!)

4) Arranjo

- escolher p elementos entre n possíveis

- ordem importa

An,p = n! / (n-p)!

Na prática:

Escolher presidente e vice-presidente de um grupo de 6 pessoas

- ordem importa pois são cargos diferentes: o 1º será presidente e o 2º vice-presidente

A6,2 = 6! / (6-2)!

5) Combinação

- escolher p elementos entre n possíveis

- não pode repetir os elementos escolhidos

- ordem NÃO importa

Cn,p = n! / (p!.(n-p)!)

Na prática:

Escolher 2 pessoas entre 10 para representantes de turma

- ordem não importa, os 2 serão representantes igualmente

C10,2 = 10! / 2!.(10-2)!

6) Combinação com repetição

- escolher p elementos entre n elementos possíveis

- pode repetir os elementos escolhidos

- ordem NÃO importa

- é possível transformar a combinação com repetição em uma combinação simples

CRn,p = Cn+p-1,p = (n+p-1)!/(p!.(n-1)!)

Na prática:

Escolher 3 copos de refrigerantes entre 5 opções de marca possíveis

- ordem que escolher os copos não importa

- pode pegar mais de um copo da mesma marca

CR5,3 = C7,3 = 7!/(3!.(7-3)!)

1) escolher 1° grupo

escolher 3 entre 9 possíveis => COMBINAÇÃO:

= C9,3

2) escolher 2° grupo:

escolher 3 entre 9 possíveis => COMBINAÇÃO

= C6,3

3) escolher 3° grupo:

escolher 3 entre 9 possíveis => COMBINAÇÃO

= C3,3

Iremos escolher 1), 2) e 3) => MULTIPLICAÇÃO

Total = C9,3.C6,3.C3,3

Total = 84.20.1

Total = 1680