GABARITO: ALTERNATIVA E.

A questão pede conhecimento sobre as relações métricas no quadrado inscrito.

Relações métricas em um quadrado inscrito são aquelas encontradas entre as medidas de seus lados, ângulos e outros elementos.

Um polígono está inscrito quando existe uma circunferência que contém todos os seus vértices.

Ex:

Nesse caso, o centro da circunferência e seu raio são chamados, respectivamente, de centro do polígono e raio do polígono.

Portanto, as relações métricas do quadrado inscrito podem depender da circunferência que contém seus lados.

Conseguimos calcular o lado do quadrado inscrito usando a fórmula:

L = r√2

Vejamos:

Dado o triângulo APO, cujos lados são o apótema OP relativo ao lado AD, o raio OA e o lado PA, formado a partir da construção do apótema.

Podemos observar que o triângulo AOP é retângulo em P e que a medida de PA é metade do lado do quadrado.

Isso ocorre, pois o apótema é altura do triângulo AOD, que, por sua vez, é isósceles. A altura de um triângulo isósceles também é mediana de sua base.

O apótema OP e o segmento PA têm o mesmo comprimento, logo o triângulo AOP também é isósceles, fazendo com que os ângulos de sua base sejam iguais. Como o ângulo P é reto, os outros dois ângulos medem 45° cada.

Com isso, temos:

Para encontrar a medida L do lado do quadrado, usaremos o cosseno:

cos45° = L/2 / r

Substituindo o valor do cosseno e realizando a divisão de frações, temos:

√2/2 = L/2 * 1/r

√2 = L/r

L = r√2

Portanto, o lado do quadrado inscrito na circunferência de raio r é obtido multiplicando r pela raiz de 2.

Agora, para encontrar a medida do apótema do quadrado inscrito usando a fórmula:

x = r√2/ 2

Se utilizarmos agora o seno de 45°. Toda a construção do triângulo AOP será exatamente igual à construção do triângulo AOP na relação anterior.

Vejamos:

Desse modo:

sen45° = x/r

√2/2 = x/r

r√2/2 = x

x = r√2/2

Visto isso, vamos à questão.

Um quadrado de lado l está inscrito num círculo de raio r. O apótema do quadrado mede 3√2𝑐𝑚. Pede-se a área do quadrado.

Como já foi visto, a fórmula do apótema é:

x = r√2/2

Portanto:

3√2 = r√2/2

r√2 = 2 * 3√2

r√2 = 6√2

r = 6√2/√2

r = 6 cm

Já o lado é igual a:

L = r√2

Assim:

L = 6√2

a área do quadrado será:

L² = (6√2)²

L² = 36 * 2

L² = 72 cm²

Sendo assim, a alternativa E é o gabarito da questão.