GABARITO: LETRA E.

Para responder essa questão, vamos relembrar alguns conceitos sobre operações com polinômios. Temos que:

– Para fazer a adição de polinômios devemos reduzir os termos semelhantes.

– E para fazer a divisão entre polinômios utilizamos o método da chave, que segue a mesma ideia da divisão entre dois números.

Segundo o enunciado, um polinômio 𝑷(𝒙), quando dividido por 𝒙 − 𝟏, deixa resto 𝟏 e, quando dividido por 𝒙 + 𝟏, deixa resto −𝟏, ou seja:

Utilizando o teorema do resto, devemos saber que a divisão entre um polinômio e um binômio de primeiro grau é dada por:

p(x) = r

Sabendo isso, vamos calcular a raiz de cada um dos polinômios, veja:

x - 1 = 0

x = 1

Assim, ficamos com:

p(1) = 1

e

x + 1 = 0

x = -1

Assim, ficamos com:

p(-1) = -1

Sabemos que o polinômio x² - 1 é igual a:

x² - 1 = (x + 1)(x - 1)

E que pode ser escrito como:

p(x) = (x + 1)(x - 1)Q(x) + R(x)

p(x) = (x + 1)(x - 1)Q(x) + ax + b

Com isso, substituímos os valores das raízes encontradas no polinômio, vejamos:

- Para x = 1, temos:

p(x) = (x + 1)(x - 1)Q(x) + ax + b

p(1) = (1 + 1)(1 - 1)Q(1) + a(1) + b = 1

a + b = 1 (i)

- Para x = - 1, temos:

p(x) = (x + 1)(x - 1)Q(x) + ax + b

p(-1) = (-1 + 1)(-1 - 1)Q(-1) + a(-1) + b=-1

-a + b = -1 (ii)

Somando as equações (i) e (ii), obtemos:

Então, o valor de a é igual a:

a + b = 1

a = 1

Logo, o resto da divisão do polinômio p(x) é igual a:

R(x) = ax + b

R(x) = (1)x + 0

R(x) = x

Portanto, a alternativa correta é a letra E.