ALTERNATIVA B

O número de diagonais em um polígono regular pode ser calculado por:

D = n.(n-3)

Multiplicando os termos:

D = (n²-3n) (*)

onde n é o número de lados do polígono.

Pelo enunciado: "P₁ tem 2 lados a mais do que o polígono P₂"

P₁ terá n+2 lados

P₂ terá n lados

O número de diagonais de P₁, substituindo n+2 em (*):

D1 = (n+2)²-3.(n+2)

O número de diagonais de P₂, substituindo n em (*):

D2 = (n²-3n)

Agora podemos utilizar somar as diagonais dos dois polígonos obtendo o total de 55 diagonais:

D1 + D2 = 55

[ (n+2)² - 3(n+2) ] + (n²-3n)= 55

2 2

(n²+4n+4-3n-6) + (n²-3n) = 55 Multiplicando os dois lados por 2:

2 2

n² + 4n + 4 - 3n - 6 + n² - 3n = 2.(55)

2n² - 2n - 2 = 110

2n² - 2n - 2 - 110 = 0

2n² - 2n - 112 = 0

Resolvendo por Bháskara: (a = 2, b = - 2 e c= -112)

∆ = b²- 4 a c

∆ = 4 - 4.(2).(-112)

∆=4 + 896

∆=900

√∆ = 30

n= - b± √∆

n'= - 2 + 30

2.2

n'= 32

n'=8 é o número de lados

n''= -2 - 30 = -28 = -7 (não é possível, pois o número de lados é sempre positivo)

2.2 4

Agora , podemos calcular as diagonais do polígono 2:

Para P₂ = n lados= 8 lados:

D = n.(n-3)

D = 8.(8-3)

D = 4.5

D = 20 diagonais