GABARITO: ALTERNATIVA E.

Para um melhor julgamento do item, vamos entender alguns pontos principais.

Primeiro:

Quais os conectivos lógicos?

São eles:

Onde P e Q são proposições simples, e juntas, através dos conectivos lógicos, formam proposições compostas.

Segundo:

Quais as características mais importantes dos conectivos lógicos na tabela-verdade?

São elas:

• Na bicondicional, com valorações iguais nas proposições simples, ela sempre será verdadeira.

• Na conjunção, ela só será verdadeira se todas as proposições simples forem verdadeiras.

• Na disjunção, ela só será falsa se todas as proposições simples forem falsas.

• Na disjunção exclusiva, ela só será falsa se tivermos valorações iguais para as proposições simples que a compõem.

• Na condicional, ela só será falsa se tivermos antecedente verdadeiro e consequente falso.

Onde, Se P, Então Q. (P é o antecedente e Q o consequente).

Por fim, dentro da lógica proposicional, as proposições podem receber algumas classificações, dentre elas, temos:

- Tautologia: é aquela proposição que apresenta apenas valores lógicos verdadeiros na tabela-verdade.

- Contradição: é aquela proposição que apresenta apenas valores lógicos falsos na tabela-verdade.

- Contingência: é aquela proposição que apresenta valores lógicos tanto verdadeiros como falsos na tabela-verdade.

Agora vamos à resolução!

Sabemos que uma tautologia é aquela proposição composta que apresenta apenas valores lógicos verdadeiros na tabela-verdade.

Dito isso, significa que, independente dos valores lógicos das proposições simples, a proposição composta sempre será verdadeira.

Logo, uma forma de identificar se uma proposição é uma tautologia sem a necessidade de fazer uma tabela-verdade é tentar forçar essa proposição a ser falsa.

Caso funcione, ela não será uma tautologia, pois há situação em que ela será falsa na tabela verdade.

Logo, vamos analisar as proposições abaixo.

I - (P ˄ Q) ↔ (~P ˅ Q).

Supondo que P = F e Q = F, teremos:

(F ∧ F) ↔ (∼F ∨ F)

F ↔ (V ∨ F)

F ↔ V.

Trata-se de uma bicondicional falsa, pois não apresentou valorações equivalentes em ambas as partes.

Logo, como foi possível tornar essa proposição falsa, então não é uma tautologia.

II - (P ˄ Q) ˄ R ↔ ((R ˄ Q) → P).

Supondo que P = F, Q = F e R = F, teremos:

(F ∧ F) ∧ F ↔ (( F ∧ F) → F)

F ∧ F ↔ (F → F)

F ↔ V.

Trata-se de uma bicondicional falsa, pois não apresentou valorações equivalentes em ambas as partes.

Logo, como foi possível tornar essa proposição falsa, então não é uma tautologia.

III - (~P ˅ Q) ↔ (P ˅ ~Q).

Supondo que P = V e Q = F, teremos:

(∼V ∨ F) ↔ (V ∨ ∼F)

(F ∨ F) ↔ (V ∨ V)

F ↔ V.

Trata-se de uma bicondicional falsa, pois não apresentou valorações equivalentes em ambas as partes.

Logo, como foi possível tornar essa proposição falsa, então não é uma tautologia.

IV - (P → Q) ˅ (R ˄ S) ↔ ((P ˅ Q) ˄ R ˄ S).

Supondo que P = F, Q = F, R = V e S = V, teremos:

(F → F) ∨ (V ∧ V) ↔ ((F ∨ F) ∧ V ∧ V)

(V) ∨ (V) ↔ (F ∧ V ∧ V)

V ↔ F.

Trata-se de uma bicondicional falsa, pois não apresentou valorações equivalentes em ambas as partes.

Logo, como foi possível tornar essa proposição falsa, então não é uma tautologia.

V - (~P → ~Q) ↔ (Q → P).

Perceba que temos exatamente duas proposições equivalentes, que é a condicional e sua contrapositiva.

Ou seja, uma das equivalências de uma condicional é a contrapositiva, em que se negam ambas as partes e inverte suas posições, exatamente como nesse exemplo.

Logo, seja a proposição Q → P, ao negar ambas as partes e invertê-las, teremos ~P → ~Q.

Isso significa que:

Se Q → P for F, ~P → ~Q também será F,

Se Q → P for V, ~P → ~Q também será V.

Portanto, na bicondicional acima, temos duas situações:

V ↔ V.

Ou:

F ↔ F.

Em ambas as situações a bicondicional é verdadeira.

Com isso, temos uma tautologia.

Logo, apenas a letra E trouxe uma tautologia.

Portanto, alternativa E correta.