GABARITO: LETRA D.

Para responder à questão vamos relembrar o conceito de múltiplos e divisores. Vejamos:

- Os múltiplos de um número inteiro representam um conjunto, cujo os elementos são obtidos através da multiplicação de um certo número fixo por todos os números inteiros

- Os divisores de um número são todos os números naturais que ao dividir certo número, resultaram em uma divisão exata, ou seja, que não deixa restos.

Para calcular a quantidade de divisores de um número inteiro qualquer, devemos:

1° Decompor o número em fatores primos;

2° Adicionar uma unidade ao expoente de cada fator;

3° Multiplicar os resultados;

A questão pede o número de divisores positivos do cubo da soma de:

111 + 222 + 333 + 444 + 555 + 666 + 777 + 888 + 999

Inicialmente, vamos efetuar a soma de todos os números, vejamos:

Agora, vamos decompor o número 4995 em fatores primos. Iniciamos a fatoração com o número 3 até que não seja mais possível fazer a divisão. Veja:

Como não é possível dividir por 3, passamos a dividir por 5, que é o próximo divisor possível, vejamos:

Observe que 37 é um número impar e seus divisores são apenas 1 e 37, então, passamos a dividir por 37, que é o próximo divisor possível. Assim:

Então, a forma fatorada do número 4995 é dado pela multiplicação dos números da coluna da direita, veja:

= 4995

= 3 * 3 * 3 * 5 * 37

= 3³ * 5 * 37

Como a questão pede o número de divisores positivos do cubo da soma, elevamos toda a expressão ao cubo, vejamos:

Pelas propriedades da potência, ficamos com:

Agora que já decompomos o número em fatores primos e elevamos ao cubo, devemos adicionar uma unidade a cada fator encontrado, ou seja, a cada expoente. Assim:

= (9 + 1) * (3 + 1) * (3 + 1)

= (10) * (4) * (4)

Multiplicando os resultados, obtemos:

= 160

Logo, o número de divisores positivos do cubo da soma é 160. Portanto, a alternativa correta é a letra D.