GABARITO: LETRA C.

Para esta questão, vamos relembrar alguns conceitos sobre permutação e princípio da inclusão-exclusão. Vejamos:

- O Princípio da Inclusão–Exclusão é um modelo que serve para contar a quantidade de elementos que pertencem a uma união qualquer de conjuntos não necessariamente disjuntos.

Para o caso de dois conjuntos a imagem abaixo pode nos ajudar:

O total de elementos destes dois conjuntos é representado pela união de A e B. Escrevemos:

- Dados n elementos diferentes ordenados de uma maneira qualquer, se trocarmos a ordem destes elementos temos uma permutação deles. O número de permutações é dado pelo fatorial de n, que é quantidade de elementos dada.

Vamos lembrar que um anagrama é uma forma de reordenar as letras de uma palavra para obter uma nova palavra. Para calcular a quantidade de anagramas possíveis, utilizamos a permutação.

Queremos descobrir o número de anagramas que começam por C OU terminam por O. Ressaltamos o OU pois a questão utiliza o princípio da inclusão-exclusão. Seja A o conjunto de anagramas que começam por C e B o conjunto de anagramas que terminam por O.

O número de anagramas que começam por C OU terminam por O é:

Então vamos fazer as contas por partes. Primeiro, vamos calcular o número de anagramas que começam por C E terminam por O. Temos:

Como restam 6 letras para completar a palavra vamos calcular o fatorial de 6:

Ou seja, descobrimos que:

Agora, calculamos a quantidade de palavras que começam por C. Aqui, temos uma sutileza que deve ser notada. Temos 2 letras C na palavra CONCURSO. Então, vamos ter alguns anagramas iguais, veja:

Embora tenhamos trocado o C que começa a palavra, os dois anagramas são iguais. Para resolver isto, devemos dividir quantidade de fatoriais possíveis por 2, assim garantimos que não vamos contas as repetições. Temos:

O mesmo argumento ocorre para anagramas que terminam em 8. Como temos duas letras O na palavra, qualquer permutação será dividida por 2. Após fixar o “O” na última letra de permutação, a quantidade de anagramas que terminam por O é dada por:

Então, descobrimos que:

E assim, pelo princípio da inclusão-exclusão:

Assim, o número de anagramas de concurso que começa por C ou termina por O é 4320. Portanto, a alternativa correta é a letra C.