GABARITO: LETRA C

Há dois conceitos principais envolvidos na resolução desta questão: circunferências inscrita/circunscrita e congruência de triângulos.

Vamos revisar primeiro sobre circunferência inscrita/circunscrita e suas propriedades.

CIRCUNFERÊNCIA INSCRITA: é a circunferência que tangencia internamente os lados do triângulo. Seu centro chama-se incentro e é o encontro das bissetrizes dos ângulos internos do triângulo.

Propriedade: o raio e os lados são perpendiculares nos pontos de tangência.

CIRCUNFERÊNCIA CIRCUNSCRITA: É a circunferência externa, que passa exatamente pelos 3 vértices do triângulo. Seu centro chama-se circuncentro e é o encontro das mediatrizes dos lados do triângulo.

Para determinar x + y, devemos escrevê-la em função dos raios da circunferência circunscrita e inscrita (R e r). O enunciado informa que o triângulo ABC é retângulo, quando temos esta situação, a hipotenusa coincidirá com o diâmetro da circunferência circunscrita:

A partir do incentro e dos pontos de tangência, podemos construir os seguintes triângulos:

A partir daí, teremos várias congruências de triângulos.

Lembre-se: dois triângulos são congruentes quando possuem todos os lados correspondentes e ângulos internos de mesma medida (e vice-versa). No caso de triângulos retângulos, se forem congruentes as hipotenusas e um dos catetos, os triângulos serão congruentes.

Observe os triângulos AA’I e AB’I:

Note que:

Portanto, os triângulos AB’I e AA’I são congruentes (utilizamos a notação AB'I ≅ AAI')

Podemos então afirmar que AB’ = AA’:

Por raciocínio similar, também podemos concluir que C’B = B’B = R:

Agora vamos olhar para os triângulos CA’I e CC’I:

Note que eles terão a hipotenusa IC em comum e também os lados A’I = C’I = r, portanto serão congruentes. Concluímos então que A’CC’I é um quadrado, logo A’C = CC’ = r.

Temos então que x = r + R e y = r + R:

A soma pedida será:

x + y = R + r + R + r

= 2R + 2r

= 2(R + r)

Portanto, x + y é igual a 2(R + r).