GABARITO: LETRA A.

Para responder essa questão, vamos relembrar os conceitos de função quadrática e ponto de máximo e mínimo de uma função do segundo grau. Vejamos:

- A função quadrática ou função polinomial de 2° grau, é uma função f de R em R que é representada pela seguinte lei de formação:

f(x) = ax² + bx + c

Onde a, b e c são números reais e a≠0.

- Para determinar o ponto máximo e o ponto mínimo de uma função do 2º grau, calculamos o vértice da parábola utilizando as seguintes expressões:

De acordo com o enunciado, o gráfico de uma função quadrática f contém os pontos (0, 7) e (4, 23).

Primeiramente, vamos determinar os coeficientes da função quadrática considerando cada um dos pontos dados.

- Considerando o ponto (0,7), temos que, para x = 0, f(0) = 7, veja:

f(x) = ax² + bx + c

f(0) = a(0)² + b(0) + c

7 = 0 + 0 + c

7 = c

- Considerando o ponto (4, 23), temos que, para x = 4, f(4) = 23, veja:

f(x) = ax² + bx + c

f(4) = a(4)² + b(4) + 7

23 = 16a + 4b + 7

23 - 7 =16a + 4b

16 = 16a + 4b

Simplificando a expressão por 4, obtemos:

4 = 4a + b (1)

Sabendo que f(10) = 167, fazemos x = 10 na função quadrática, vejamos:

f(x) = ax² + bx + c

f(10) = a(10)² + 10b + 7

167 = 100a + 10b + 7

167 - 7 = 100a + 10b

160 = 100a + 10b

Simplificando a função por 10, obtemos:

16 = 10a + b (2)

Montando um sistema com as expressões (1) e (2), teremos:

Utilizando o método da soma, multiplicamos a primeira equação por -1 e somamos com a segunda, vejamos:

Somando as equações, teremos:

-4a + 10a - b + b = -4 + 16

6a = 12

a = 12/6

a = 2

Substituindo a = 2 na primeira equação, obtemos:

4a + b = 4

4(2) + b = 4

8 + b = 4

b = 4 - 8

b = -4

Dessa forma, o a função quadrática terá os seguintes coeficientes: a = 2, b = -4 e c = 7.

f(x) = 2x² - 4x + 7

Assim, para determinarmos o menor valor assumido por essa função calculamos o y do vértice da função, vejamos:

Portanto, a alternativa correta é a letra A.