GABARITO: LETRA C.

Para responder essa questão, vamos relembrar o conceito de dízima periódica. Vejamos:

- As dízimas periódicas são números infinitos e periódicos infinitos que possuem certas partes que se repetem, ou seja, possuem um período. Se dividirmos o numerador de uma fração pelo denominador e encontrarmos uma dizima, então, essa fração será chamada de geratriz.

- Dízima periódica simples: possui uma parte inteira (que vem antes da vírgula) e o período (que vem depois da vírgula). O numerador será composto pelos algarismos e o período menos os algarismos inteiros, sem a vírgula. E o denominador será composto por noves que dependem da quantidade de algarismos que formam o período.

- Dízima composta: possui uma parte inteira (que vem antes da vírgula), parte não periódica e período (que vem depois da vírgula). O numerador é obtido por meio da subtração do número formado pelos algarismos da parte inteira, os algarismos que não se repetem e o período (sem a vírgula) e o número formado pela parte inteira e a que não se repete também sem a vírgula. E o denominador é resultante da quantidade de noves que equivalem ao período acrescentados de um zero a cada algarismo que não se repete na parte decimal.

A questão pede a fração geratriz da dízima periódica

.

Podemos observar que o número decimal

é uma dízima periódica simples. Que é formada por:

3 = parte inteira

1415 = período

Neste caso, o numerador é o número formado pela parte inteira e o período, menos a parte inteira, ou seja:

31415 - 3 = 31412

Agora, para encontrarmos o denominador, basta analisarmos quantos números têm no período da dízima, e, para cada um desses números acrescentamos um número 9 no denominador. Então, como o período é formado por quatro algarismos, o denominador será formado por quatro noves, ou seja, 9999.

Logo, a fração geratriz da dízima periódica é:

Portanto, a alternativa correta é a letra C.