GABARITO: ALTERNATIVA A.

Para responder essa questão, vamos relembrar o conceito de interseção entre duas retas e ângulo formado por duas retas. Vejamos:

- O ponto de interseção entre duas retas, ou ponto de encontro, igualamos as equações relativas a elas ou resolvendo o sistema formado.

- Considerando duas retas concorrentes r e s, ambas oblíquas aos eixos coordenados, e não perpendiculares entre si. As duas retas formam um ângulo entre si, que denominaremos de α. Esse ângulo α é tal que:

Onde ms e mr são os coeficientes angulares das retas s e r, respectivamente.

Vamos determinar uma das equações da reta r.

Inicialmente, sabemos que um dos pontos da reta r é a intersecção entre as retas s e t. Vamos então isolar a variável x no primeiro membro das equações s e t, vejamos:

- Equação s:

x - 2y = 4

x = 4 + 2y (I)

- Equação t:

x - y = 4

x = 4 + y (II)

Agora, para determinarmos o ponto de interseção entre as duas retas, igualamos as equações (I) e (II), veja:

4 + 2y = 4+y

2y - y = 4 - 4

y = 0

Feito isso, substituímos y = 0 na equação (I) para determinarmos o valor de x, vejamos:

x = 4 + 2y

x = 4 + 2*0

x = 4

Portanto, um dos pontos da reta r é (4, 0)

Agora, para determinar o coeficiente angular da reta r, usamos a fórmula de ângulos entre retas, veja:

Observe que ainda não conhecemos o coeficiente angular da reta u. Vamos então, escrevê-la na forma y = mx + n, veja:

9x – 5y = 12

- 5y = - 9x + 12

Assim, o valor do coeficiente angular da reta u é 9/5.

Agora vamos substituir na expressão o ângulo entre as retas e o coeficiente angular da reta u, para encontrar o valor do coeficiente angular da reta r, vejamos:

Efetuando o mínimo múltiplo comum para operar com as frações do módulo e simplificando, obtemos:

A partir da expressão encontrada, temos duas possibilidades, pois o resultado dentro do módulo pode ser negativo ou positivo, veja:

Ou

Agora, utilizando o ponto (4, 0) e as duas possibilidades de coeficiente angular, vamos escrever as duas equações possíveis da reta, veja:

I) Ponto (4, 0) e m igual a – 7/2:

y -y1 = m(x - x1)

Passando o 2 multiplicando e efetuando a multiplicação dos parênteses, ficamos com:

2*(y – 0) = - 7*(x – 4)

2y = - 7x + 28

Agora, organizando a expressão ficamos com 7x + 2y = 28 que é uma equação da reta r.

II) Ponto (4, 0) e m igual a 2/7:

y - y1 = m(x - x1)

Passando o 2 multiplicando e efetuando a multiplicação dos parênteses, ficamos com:

7*(y – 0) = 2*(x – 4)

7y = 2x – 8

Agora, organizando a expressão ficamos com 2x – 7y = 8 que é outra equação da reta r.

Logo, a equação da reta r é 2x – 7y = 8. Portanto, a alternativa correta é a letra A.