GABARITO E (4)

Fórmula de s cargas críticas (Pr) para uma coluna birrotulada:

Pr = π^2*E*I/L^2

O fato de a coluna permanecer estável ou tornar-se instável quando submetida a carga axial depende de sua própria habilidade de restauração, que, por sua vez, baseia-se em sua resistência à flexão.

Então para determinar carga critica de flambagem utiliza-se a equação:

EI d²v/dx² = M

O momento interno é M = -Pv

Logo

E I d²v/dx² = - Pv

d²v/dx² + (P/E I)v = 0

Essa é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, e sua solução geral é:

v=C1*sen(raiz(P/E I)*x) + C2*cos(raiz(P/E I)*x

As duas constantes de integração são determinadas pelas condições de contorno nas extremidades. Como v = 0 em x = 0, então C2 = 0. E como v=0 em x = L, então

C1*sen(raiz(P/E I)*L) = 0

Essa equação é satisfeita se C1 = 0; entretanto, então v = 0, uma solução trivial cuja validade depende de a coluna permanecer sempre reta, mesmo que a carga torne instável. A outra possibilidade é para:

sen(raiz(P/E I)*L) = 0

que é satisfeita se:

raiz(P/E I)*L) = n π

ou

Pr =n² π² E I/L^2

O menor valor de P é obtido quando n = 1, e a carga crítica para a coluna é portanto:

Pr = π² E I/L²

Fórmula de s cargas críticas (Pe) coluna engastada e livre:

Pe = π^2*E*I/L^2*4

Para determinar carga critica de flambagem para este caso, utiliza-se a equação:

EI d²v/dx² = M

O momento interno é M = P (δ - y)

Logo

E I d²v/dx² = P (δ - y)

d²v/dx² + (P/E I)v = (P/E I)δ

Essa é uma equação diferencial não homogênea e a solução consiste em uma solução complementar como em uma solução particular, ou seja:

v=C1*sen(raiz(P/E I)*x) + C2*cos(raiz(P/E I)*x + δ

As constantes são determinadas pelas condições de contorno nas extremidades. Em x = 0, v = 0, de modo que C2 =δ . Além disso:

dv/dx = C1(raiz(P/E I) * cos(raiz(P/E I)*x) - C2(raiz(P/E I) * sen(raiz(P/E I)x

Em x = 0, dv/dx = 0, de modo que C1= 0. A curva de deflexão é portanto:

v = δ [1 - cos(raiz(P/E I)*x)]

Como a deflexão no topo da coluna é δ, isto é, em x = L, v =, é necessário que:

δ cos(raiz(P/E I)*L) = 0

A solução trivial δ= 0 indica que não ocorre flambagem, independentemente da carga P. Em vez disso:

cos(raiz(P/E I)*L) = 0 ou (raiz(P/E I)*L) = n π/2

O menor valor de P é obtido quando n = 1, e a carga crítica para a coluna é portanto:

Pr = π² E I/4L²

Portando Pr/Pe = 4