QUESTÃO SEM ALTERNATIVA CORRETA - ANULADA

A matriz inversa ou matriz invertível é um tipo de matriz quadrada, ou seja, que possui o mesmo número de linhas (m) e colunas (n). Ela ocorre quando o produto de duas matrizes resulta numa matriz identidade de mesma ordem (mesmo número de linhas e colunas). Assim, para encontrar a inversa de uma matriz, utiliza-se a multiplicação, ou seja:

A . B = B . A = In (quando a matriz B é inversa da matriz A)

A Matriz Identidade é definida quando os elementos da diagonal principal são todos iguais a 1 e os outros elementos são iguais a 0 (zero). Ela é indicada por In.

Matriz Inversa possui as seguintes propriedades:

Existe somente uma inversa para cada matriz;
Nem todas as matrizes possuem uma matriz inversa. Ela é invertível somente quando os produtos de matrizes quadradas resultam numa matriz identidade (In);
A matriz inversa de uma inversa corresponde à própria matriz: A = (Aˉ¹ )ˉ¹;
A matriz transposta de uma matriz inversa também é inversa: (At)ˉ¹ = (Aˉ¹)t;
A matriz inversa de uma matriz transposta corresponde à transposta da inversa: (Aˉ¹ At)ˉ¹;
A matriz inversa de uma matriz identidade é igual à matriz identidade: Inˉ¹ = In.

Para determinação da matriz inversa, deve-se fazer a multiplicação dela por outra matriz da mesma ordem, cujos os termos são incógnitas, o produto obtido é uma matriz identidade também na mesma ordem, usando esse critério, observe o seguinte esquema:

Resolvendo os sistemas obtidos, têm-se:

2a – d = 1 ⇨ d = 2a – 1

3a + 4a – 2 + 5g = 0 ⇨ 7a + 5g = 2 (-8) ⇨ -56a - 40g = -16

2a + 6a – 3 + g = 0 ⇨ 8a + g = 3 (7) ⇨ 56a + 7g = 21 ⇨ -33g = 5 ⇨ g = -5/33

8a = 3 - g ⇨ 8a = 3 + 5/33 = 104/33 ⇨ a = 13/33 ⇨ d = - 7/33

2b – e = 0 ⇨ e = 2b

3b + 4b + 5h = 1 ⇨ 7b + 5h = 1 (-8) ⇨ -56b – 40h = -8

2b + 6b + h = 0 ⇨ 8b + h = 0 (7) ⇨ 56b + 7h = 0 ⇨ -33h = -8 ⇨ h = 8/33

8b = -8/33 ⇨ b = -1/33 ⇨ e = -2/33

2c – f = 0 ⇨ f = 2c

3c + 4c + 5i = 1 ⇨ 7c + 5i = 1 (-8) ⇨ -56c – 40i = -8

2c + 6c + i = 0 ⇨ 8c + i = 0 (7) ⇨ 56c + 7i = 0 ⇨ -33i = -8 ⇨ i = 8/33

8c = -8/33 ⇨ c = -1/33 ⇨ f = -2/33

Portanto, a matriz inversa será assim apresentada: