ALTERNATIVA A.

Questão, a meu ver, bem trabalhosa.

Para resolvê-la, precisamos relembrar alguns conceitos:

- Média aritmética: obtida pela divisão da soma dos valores de um dado conjunto pelo número de elementos que ele possui.

- Média geométrica: obtida pela raiz n-ésima do produto de todos os elementos de um conjunto de valores.

- Média harmônica: obtida pela divisão da quantidade de elementos de um conjunto pela soma dos inversos de seus elementos.

Vamos à resolução da questão!

Suponhamos que os três números que estamos à procura sejam x, y e z. Então:

- Como a média aritmética é

, temos:

- Como a média geométrica é 2, temos:

- Como a média harmônica é

, temos:

Como x.y.z = 8, temos:

Logo, chegamos a três equações em função de x, y e z. Temos, portanto, o sistema:

Multiplicando a linha 3 por x, temos:

Como x.y.z = 8 e z + y = 7 - x (da linha 1), substituindo na equação, temos:

Seja p(x) = -x³ + 7x² - 14x + 8.

Note que 1 é raiz de p(x), pois p(1) = 0.

Logo, p(x) é divisível por x - 1.

p(x) = (x-1).(-x² + 6x - 8).

As raízes de -x² + 6x - 8, pela fórmula de Báskara, são 4 e 2, logo, a equação -x² + 6x - 8 pode ser escrita como (x-4).(x-2).

Desse modo, p(x) = (x-1).(x-4).(x-2), e os valores de x para o sistema são: 1, 4 e 2.

Vamos agora calcular os valores de y e de z para cada valor possível de x.

Quando x = 1:

Pelas linhas 1 e 2, yz = 8 e y + z = 6.

yz = 8

y.(6-y) = 8

- y² + 6y - 8 = 0

Pela fórmula de Báskara, as raízes da equação são:

Basta encontrarmos z:

Considerando y + z = 6, então:

se y = 2, então z = 4;

se y = 4, então z = 2.

Quando x = 2:

Pelas linhas 1 e 2, yz = 8 e y + z = 5.

yz = 4

y.(5-y) = 4

- y² + 5y - 4 = 0

Pela fórmula de Báskara, as raízes da equação são:

Basta encontrarmos z:

Considerando y + z = 5, então:

se y = 4, então z = 1;

se y = 1, então z = 4.

Quando x = 4:

Pelas linhas 1 e 2, yz = 2 e y + z = 3.

yz = 2

y.(3-y) = 2

- y² + 3y - 2 = 0

Pela fórmula de Báskara, as raízes da equação são:

Basta encontrarmos z:

Considerando y + z = 3, então:

se y = 2, então z = 1;

se y = 1, então z = 2.

Logo, em todos os casos que fizemos acima, vimos que os números são 1, 2 e 4.