GABARITO: LETRA E

Funções Trigonométricas

As funções trigonométricas, também chamadas de funções circulares, estão relacionadas com as demais voltas no ciclo trigonométrico.

As principais funções trigonométricas são:

· Função Seno

· Função Cosseno

· Função Tangente

Função Seno

A função seno é uma função periódica e seu período é 2π. Ela é expressa por:

No círculo trigonométrico, o sinal da função seno é positivo quando x pertence ao primeiro e segundo quadrantes. Já no terceiro e quarto quadrantes, o sinal é negativo.

Além disso, no primeiro e quarto quadrantes a função f é crescente. Já no segundo e terceiro quadrantes a função f é decrescente.

O domínio e o contradomínio da função seno são iguais a R. Ou seja, ela está definida para todos os valores reais: Dom(sen)=R.

Já o conjunto da imagem da função seno corresponde ao intervalo real [-1, 1]: -.

Em relação à simetria, a função seno é uma função ímpar: .

O gráfico da função seno f(x) = sen x é uma curva chamada de senoide.

Função Cosseno

A função cosseno é uma função periódica e seu período é 2π. Ela é expressa por:

No círculo trigonométrico, o sinal da função cosseno é positivo quando x pertence ao primeiro e quarto quadrantes. Já no segundo e terceiro quadrantes, o sinal é negativo.

Além disso, no primeiro e segundo quadrantes a função f é decrescente. Já no terceiro e quarto quadrantes a função f é crescente.

O domínio e o contradomínio da função cosseno são iguais a R. Ou seja, ela está definida para todos os valores reais: Dom(cos)=R.

Já o conjunto da imagem da função cosseno corresponde ao intervalo real [-1, 1]: -1 < cos x < 1.

Em relação à simetria, a função cosseno é uma função par: .

O gráfico da função cosseno f(x) = cos x é uma curva chamada de cossenoide:

Função Tangente

A função tangente é uma função periódica e seu período é π. Ela é expressa por:

No círculo trigonométrico, o sinal da função tangente é positiva quando x pertence ao primeiro e terceiro quadrantes. Já no segundo e quarto quadrantes, o sinal é negativo.

Além disso, a função f definida por f(x) = tg x é sempre crescente em todos os quadrantes do círculo trigonométrico.

O domínio da função tangente é: Dom(tan)={x ∈ R│x ≠ de π/2 + kπ; K ∈ Z}. Assim, não definimos tg x, se x = π/2 + kπ.

Já o conjunto da imagem da função tangente corresponde a R, ou seja, o conjunto dos números reais.

Em relação à simetria, a função tangente é uma função ímpar:.

O gráfico da função tangente f(x) = tg x é uma curva chamada de tangentoide:

Dito isso, vamos à resolução da questão.

Como podemos substituir o valor da tangente dado no enunciado. Assim:

Elevando ambos os membros da igualdade ao quadrado, teremos:

Utilizando a fórmula fundamental da trigonometria e substituindo na equação acima teremos:

Vejam que x é um ângulo do 1º quadrante, o valor do seno é positivo, logo:

Utilizando novamente a fórmula fundamental da trigonometria, temos que . E, substituindo em (I), teremos:

De maneira análoga, como x é um ângulo do 1º quadrante, o valor do cosseno é positivo, logo:

Por fim, o valor da expressão é será:

Gabarito: letra E.