GABARITO: LETRA C.

Para responder essa questão, vamos relembrar o conceito de função logarítmica. Vejamos:

- A função logarítmica é uma função f de R_+^* em R, definida por:

f(x) = loga⁡X

Onde a é base do logaritmo da função, sendo a positivo e a≠1.

Seja x o número real tal que 12ˣ = 3, vamos determinar o valor do log₃ 864 em função de x.

Primeiramente, vamos fatorar o número 864. Iniciamos dividindo o valor por 2 até que não seja mais possível, veja:

Como não podemos mais dividir por 2, passamos a dividir por 3, veja:

Então, o número 864 na forma fatorada é igual a:

Substituindo na expressão dada, ficamos com:

Aplicando a regra do logaritmo do produto de dois fatores, temos que:

Agora, pela regra do logaritmo de uma potência, teremos:

Seja x o número real tal que 12ˣ = 3, aplicamos o log na base 3 nos dois membros da expressão, veja:

Fatorando o número 12, obtemos:

Então, ficamos com:

12 = 2² * 3

Substituindo na expressão anterior, temos que:

Aplicando a regra do logaritmo do produto, obtemos:

Agora, aplicamos a regra do logaritmo de uma potência, vejamos:

Substituindo a equação (2) em (1), ficaremos com:

Fazendo a distributiva, temos:

Colocando 1/2 em evidência, teremos:

Logo, o valor do log₃864 é 1/2 (5/x+1). Portanto, a alternativa correta é a letra C.