ALTERNATIVA A.

Comece fazendo algumas considerações iniciais para eliminar cálculos desnecessários:

Se um número é divisível por 4, certamente também será por 2;
Se um número é divisível por 6, certamente também será por 3;
5 e 7 são números primos, ou seja, só coincidem a cada 35 (5 vezes 7);
4 e 6 só coincidem a cada 12;
Um número que termina em 5 (ímpar) nunca será múltiplo de 4 nem de 6 (pares);
Um número que termina em 0 (par) pode ser múltiplo de 12;
O menor número com 4 algarismos é o 1.000 (um mil).

Assim, podemos primeiramente verificar apenas se os múltiplos de 70 são também múltiplos de 12:

70: não é múltiplo de 12;
140: não é múltiplo de 12;
210: não é múltiplo de 12;
280: não é múltiplo de 12;
350: não é múltiplo de 12;
420: é múltiplo de 12.

Temos aqui, então, a nossa resposta: 420. Agora basta achar o primeiro número acima de 1.000 que seja múltiplo de 420, que é o número 1.260.

Por fim, pede-se a soma dos algarismos desse número (1+2+6+0), que é igual a 9, o que corresponde à alternativa A.

Pense assim: todos aqueles números dados no início só irão coincidir a cada 420. É impossível e, portanto, perda de tempo, verificar qualquer número que não seja um múltiplo desse.