GABARITO: LETRA E.

Para responder essa questão, vamos relembrar propriedades dos determinantes. Vejamos:

- As propriedades dos determinantes são características associadas ao determinante de uma matriz, que fazem com que possamos calcular valores de determinantes sem ter a obrigatoriedade de conhecer a matriz associada a ele.

Vamos calcular o valor de det [(2.Mᵗ) . (4. N⁻¹)].

Inicialmente, aplicamos o teorema de Binet, o qual afirma que det (A.B) é igual a det A . det B, veja:

= det [(2.Mᵗ) . (4. N⁻¹)]

= det (2.Mᵗ) . det (4. N⁻¹)

Em seguida, aplicamos a propriedade associada à uma matriz multiplicada por um número real, a qual tem-se que det (k.A) = kn.det A, sendo k o valor que multiplica a matriz e n a ordem da matriz, observe:

1º) Em det (2.Mᵗ), temos k = 2 e a ordem n da matriz também é 2, assim:

= det (2.Mᵗ)

= 2² . det (Mᵗ)

2º) Em det (4. N⁻¹), temos k = 4 e a ordem n da matriz é 2, logo:

= det (4. N⁻¹)

= 4² . det ( N⁻¹)

Assim, det (2.Mᵗ) . det (4. N⁻¹) corresponde a 2² . det (Mᵗ) . 4² . det ( N⁻¹).

Agora, aplicamos a propriedade do determinante da matriz transposta, em que det (Aᵗ) = det A, e a propriedade do determinante da matriz inversa, em que

, vejamos:

Assim, substituímos os valores de det M e det N, obtendo:

Resolvendo as potências e multiplicações, temos:

Agora efetuamos a divisão por 8:

= 16

= 2*2*2*2

=

Logo, o valor do det [(2.Mᵗ) . (4. N⁻¹)] é

. Portanto, a alternativa correta é a letra E.