GABARITO: ALTERNATIVA E

Vamos dividir o problema em etapas. Em cada etapa vamos alocar uma pessoa na fila.

O problema nos coloca duas restrições:

João não pode ocupar o primeiro lugar da fila
João não pode ocupar o último lugar da fila

Vamos começar com o primeiro do lugar da fila. Para essa etapa temos 4 opções de pessoa, pois João não pode ocupar o primeiro lugar na fila.

Vamos seguir agora analisando o último lugar da fila, a quinta posição, que também apresenta a restrição de João não poder ocupar esse lugar. Teremos 3 possibilidades de pessoas para ocupar essa posição, já que das 5 pessoas uma já está ocupando o primeiro lugar da fila e João não pode ocupar este lugar.

Para as demais posições não temos restrições. Sobraram 3 pessoas e todas elas podem ser utilizadas na 2ª posição:

Para a 3ª posição, sobram 2 opções de pessoas:

Para a 4ª posição sobrou uma única pessoa:

Agora precisamos utilizar o princípio fundamental da contagem.

O princípio fundamental da contagem nos diz que se um experimento pode ocorrer em várias etapas sucessivas e independentes (como as etapas realizadas anteriormente, de alocar pessoas em posições de uma fila) de tal modo que:

Então, o número total de possibilidades de o acontecimento ocorrer é igual a :

Aplicando o princípio fundamental da contagem à questão apresentada teremos o que segue para o número de filas que podemos formar:

Podemos formar 72 filas distintas com as restrições impostas.