ALTERNATIVA A.

Através da figura apresentada no enunciado, podemos afirmar que os triângulos CDE e CAB são semelhantes. No caso, dois triângulos são semelhantes se e somente se possuem os três ângulos equivalentes congruentes (têm a mesma medida) e os lados correspondentes proporcionais. Podemos confirmar a semelhança através dos ângulos internos.

Vamos supor que o ângulo C seja de 30º (o valor desse ângulo é irrelevante, vamos utilizar apenas para a didática). Sabemos que os ângulos D e A são de 90º e também sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo retângulo é 180º. Dessa forma, os ângulos E e B seriam:

Triângulo CDE:

C + D + E = 180

30 + 90 + E = 180

E = 60

Triângulo CAB:

C + A + B = 180

30 + 90 + B = 180

B = 60

Com isso, percebemos que os ângulos C e C, A e D, B e E dos triângulos CAB e CDE são iguais entre si, o que confirma a semelhança dos triângulos.

Agora que já confirmamos a semelhança, vamos calcular o seguimento AC, que pode ser encontrado com o Teorema de Pitágoras:

BC² = AB ² + AC²

32² = 16² + AC²

AC² = 1024 - 256

AC² = 768

AC = √[(2^8)*3]

AC = (2^4)√3

AC = 16√3 cm

Com esse valor e os fornecidos no enunciado, chegamos ao seguinte esquema:

Através de semelhança de triângulos, podemos encontrar x:

16 ----------- x

16√3 ----------- 4√3

16/(16√3) = x/(4√3)

1/√3 = x/(4√3)

1/1 = x/4

x = 4 cm

Portanto, a medida de DE é igual a 4 cm.

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Agora que terminamos a questão, vamos dar uma revisada sobre pontos importantes a respeito de semelhança de triângulos.

Dois triângulos são semelhantes se e somente se possuem os três ângulos equivalentes congruentes (têm a mesma medida) e os lados correspondentes proporcionais, como mostra o esquema abaixo:

Os lados correspondentes serem proporcionais significa que a razão entre os lados do triângulo é:

a/a' = b/b' = c/c' = k, sendo k a chamada razão de semelhança. Em termos simples, k é o quanto aumenta ou diminui o triângulo semelhante.

Por fim, a razão entre as áreas dos triângulos é k². Na Geometria Espacial, objetos semelhantes possuem razão k³ para o volume.