GABARITO: LETRA E.

Para responder essa questão, vamos relembrar alguns conceitos relacionados à fatoração de polinômios. Temos que:

– A fatoração de polinômios consiste em representar uma expressão como o produto de fatores. Ao representar um polinômio como a multiplicação de outros polinômios é possível simplificar a expressão. Veremos alguns tipos de fatoração:

Fator comum em evidência: usado quando há um fator que se repete em todos os termos do polinômio. Por exemplo:

ax + ay = a(x + y)

Trinômio quadrado perfeito: quando o polinômio é formado por 3 termos, e os mesmo são do tipo:

a² + 2ab + b², que resulta em (a + b)²

ou

a² – 2ab + b², que resulta em (a – b)²

Diferença entre dois quadrados: usado quando a expressão pode ser vista como a diferença de dois quadrados perfeitos. Por exemplo:

a² - b² = (a + b)(a - b)

Soma ou diferença de dois cubos: usado quando a expressão pode ser vista como a soma ou como a diferença de dois cubos perfeitos. Por exemplo:

a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)

a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

Observe o polinômio dado no enunciado:

𝑥³ − 3𝑥² − 9𝑥 + 27

Para o fatorarmos, vamos inicialmente pensar nele como se fosse dois termos separados. Vejamos:

x³ - 3x² - 9x + 27

= (x³ - 3x²) + (- 9x + 27)

= (x³ - 3x²) - (9x - 27)

Com isso, vamos encontrar o fator comum de cada um dos dois termos. No primeiro termo, o fator comum é o x² e, no segundo termo, o fator comum é o 9. Colocando esses termos em evidência, temos:

= (x³ - 3x²) - (9x - 27)

= x²(x - 3) - 9(x - 3)

Note que agora temos outros dois termos: x²(x - 3) e - 9(x - 3). Analogamente, como (x - 3) é um fator comum entre eles, o colocamos em evidência:

= x²(x - 3) - 9(x - 3)

=(x - 3)(x² - 9)

Por fim, como (x² - 9) é uma diferença entre dois quadrados, podemos desenvolvê-la da seguinte maneira:

=(x - 3)(x² - 9)

=(x - 3)(x - 3)(x + 3)

= (x - 3)²(x + 3)

Logo, a representação fatorada do polinômio x³ − 3x² − 9x + 27 é (x - 3)²(x + 3). Portanto, a alternativa correta é a letra E.