Gabarito: alternativa C.

Sabendo que os três pontos são colineares, utilizaremos o determinante da matriz formada pelos pontos para encontrarmos os valores de c.

*Para encontrar o valor do determinante, repetimos as duas primeiras colunas, somamos os produtos das diagonais de mesmo sentindo e em seguida subtraímos os dois valores encontrados. Veja abaixo:

Desenvolvendo o determinante temos :

D = (c.c.1 + 3.1.14 + 1.2.-3) - (1.c.14 + c.1.-3 + 3.2.1)

D = (c^2 + 42 - 6) - (14c - 3c + 6)

D = c^2 + 36 -14c + 3c - 6

D = c^2 - 11c +30

Assim, temos uma equação do segundo grau, que pode ser caracterizada da seguinte maneira ax^2 + bx + c = 0. .

Substituindo c por x temos : x^2 -11x +30.

Para encontramos os valores de c nos pontos, devemos encontrar as raízes da equação, assim vamos seguir alguns passos e fórmulas. Veja abaixo:

Encontrar o discriminante, isso pode ser feito a partir da seguinte fórmula : ∆ = b^2 - 4ac.

Para a equação x^2 -11x +30 = 0 , teremos o seguinte discriminante:

*Obs: nessa equação temos que a = 1, b = -11 e c = 30

Δ = (-11)^2 -4.1.30

Δ = 121 -120

Δ = 1

2. Após encontrarmos o valor do discriminante podemos utilizar a fórmula de Bháskara para descobrir o valor das raízes da equação:

x = -b +/-√Δ / 2a

x´= - (-11) + √1/2.1 = 11 + 1 / 2 = 12/2= 6

x´´= - (-11) - √1/2.1 = 11 - 1 / 2 = 10/2 = 5

Sabendo que x = c, c pode assumir valores iguais a 5 ou 6 para que os três pontos sejam colineares.