GABARITO: ALTERNATIVA E

Análise combinatória:

Área que estuda métodos para analisar problemas de contagem, usado em probabilidade e para descobrir possibilidades e combinações possíveis.

1) Princípio fundamental da contagem (PFC):

Quando um evento é composto por uma quantidade determinada de etapas consecutivas e independentes podem se somar essas etapas ou multiplicá-las dependendo da interpretação.

Sempre que se usa a conjunção aditiva “e” na interpretação, um evento e outro, se somam os eventos, a conjunção “ou”, um evento ou outro, multiplicam-se os eventos.

2) Fatorial:

Considerando um numero natural maior que 1 pode se calcular o fatorial:

n! = n*(n-1)*(n-2)*(n-3) ... *2*1

3) Permutação:

O termo permutação indica permuta, ou seja, troca de posições entre objetos ou eventos,uma permutação é chamada de simples quando o número de objetos ou eventos de determinado tipo não há repetição, caso haja repetição é chamada de permutação com repetição.

Permutação simples: apenas fazer o fatorial com o numero total de elementos.

Permutação com repetição: fazer o fatorial com o numero total de elementos

e dividir pelo numero de objetos ou eventos repetidos.

4) Combinação:

Trata-se de maneiras de formar grupos, sem fazer permutações irrelevantes, ou seja,a ordem desses grupos não importa.

C n,p = n!/p!(n-p)!

Em que n são todos os elementos e p é o numero de grupos.

5) Arranjo:

Trata-se de maneira de formar grupos em que a ordem desses grupos é importante.

A n,p = n!p!/(n-p)!

A partir dessas premissas:

1) Analisando os dados:

Dois casais posam para uma fotografia.

Sendo dois casais, temos as seguintes vagas:

____ ____ ____ ____.

4 vagas, podendo ser homem ou mulher de cada casal, chamaremos de:

Casal 1

Homem: H 1

Mulher: M 1

Casal 2

Homem: H 2

Mulher: M 2

2) Utilizando os dados:

Sabendo que são 4 vagas, inicialmente manteremos o homem do primeiro casal fixo na posição numero 1:

H 1 ____ ____ ____.

Como sua esposa tem que ficar ao seu lado:

H 1 M 1 ____ ____.

Variando os outros dois:

H 1 M 1 H 2 M 2 .

H 1 M 1 M 2 H 2 .

Gerando duas possibilidades, repetindo essa lógica com a mulher do primeiro casal na primeira posição:

M 1 ____ ____ ____.

M 1 H 1 ____ ____.

M 1 H 1 H 2 M 2 .

M 1 H 1 M 2 H 2 .

Mais duas possibilidades, fazendo isso com o casal 2:

H 2 ____ ____ ____.

H 2 M 2 ____ ____.

H 2 M 2 H 1 M 1 .

H 2 M 2 M 1 H 1 .

M 2 ____ ____ ____.

M 2 H 2 ____ ____.

M 2 H 2 H 1 M 1 .

M 2 H 2 M 1 H 1 .

3) Generalizando:

Esses são todos os casos possíveis:

H 1 M 1 H 2 M 2 .

H 1 M 1 M 2 H 2 .

M 1 H 1 H 2 M 2 .

M 1 H 1 M 2 H 2 .

H 2 M 2 H 1 M 1 .

H 2 M 2 M 1 H 1 .

M 2 H 2 H 1 M 1 .

M 2 H 2 M 1 H 1 .

Uma maneira análoga de se fazer é utilizando a permutação:

____ ____ ____ ____.

A primeira posição pode ser ocupada por qualquer uma das 4 pessoas:

4 ____ ____ ____.

A próxima posição só pode ser ocupada pele seu devido cônjuge:

4 1 ____ ____.

Próximo espaço pode ser ocupado por um homem ou uma mulher do outro casal que ainda não se posicionou na foto:

4 1 2 ____.

Sobrando apenas um espaço, para quem sobrou:

4 1 2 1.

Permutando todas essas posições com o produto:

4*1*2*1

8 possibilidades.

Conclusão: Podem se posicionar de 8 maneiras.