GABARITO: ALTERNATIVA E.

A questão pede conhecimento sobre combinação simples.

A combinação simples é a contagem de todos os subconjuntos de p elementos que podemos formar de um conjunto de n elementos.

A combinação de n elementos tomados de p a p é:

n → total de elementos no conjunto

p→ total de elementos no subconjunto

Visto isso, vamos à questão.

Para construirmos um retângulo, precisamos de 4 pontos (A, B, C e D) dessa malha. Porém, esses pontos tem que estar combinados 2 a 2.

Portanto, vamos começar escolhendo 2 pontos na linha 1.

Precisamos perceber que, a malha possui 6 pontos, cruzamento da linhas verticais com as horizontais, em cada linha. Dessa forma, faremos uma combinação de 6 elementos tomados 2 a 2, temos:

Temos que, o ponto C vai estar alinhado com o ponto A e ele poderá estar em qualquer uma das 4 linhas abaixo do ponto A. Assim, teremos 4 possibilidades para o ponto C e também, o ponto D terá que estar alinhado com os pontos B e D. Desse modo, teremos uma possibilidade para o ponto D.

Multiplicando as possibilidades para cada um dos 4 pontos, saberemos quantos retângulos poderemos formar com os dois primeiros pontos na linha 1. Vejamos:

C(6,2) * 4 * 1

C(6,2) = 6! / 2! * (6−2)! * 4 * 1

C(6,2) = 6 * 5 / 2 * 1 * 4 * 1

C(6,2) = 15 * 4 * 1

C(6,2) = 60 retângulos

Agora, vamos escolher 2 pontos na linha 2.

Faremos uma combinação de 6 elementos tomados 2 a 2, e saberemos de quantas maneiras podemos escolher os dois primeiros pontos do retângulo. Temos:

O ponto C vai estar alinhado com o ponto A e ele poderá estar em qualquer uma das 3 linhas abaixo do ponto A.

Portanto, teremos 3 possibilidades para o ponto C e, para formarmos um retângulo, o ponto D terá que estar alinhado com os pontos B e D. Logo, teremos uma possibilidade para o ponto D.

Multiplicando as possibilidades para cada um dos 4 pontos. Temos:

C(6,2) * 3 * 1

Como já fizemos antes, C(6,2) = 15. Portanto:

15 * 3 * 1 = 45 retângulos

Agora, escolhendo 2 pontos na linha 3, faremos uma combinação de 6 elementos tomados 2 a 2. O ponto C vai estar alinhado com o ponto A e ele poderá estar em qualquer uma das 2 linhas abaixo do ponto A. Teremos 2 possibilidades para o ponto C e, para formarmos um retângulo, o ponto D terá que estar alinhado com os pontos B e D. Teremos uma possibilidade para o ponto D.

Multiplicando as possibilidades para cada um dos 4 pontos. Temos:

C(6,2) * 2 *1 =

15 * 2 * 1 = 30 retângulos

Por fim, vamos escolher 2 pontos na linha 4. Fazendo uma combinação de 6 elementos tomados 2 a 2. O ponto C vai estar alinhado com o ponto A e ele poderá estar em uma única linha abaixo do ponto A. Teremos 1 possibilidade para o ponto C e, para formarmos um retângulo, o ponto D terá que estar alinhado com os pontos B e D, o que também nos traz uma possibilidade para o ponto D.

Multiplicando as possibilidades para cada um dos 4 pontos. Temos:

C(6,2) * 1 * 1 =

15 * 1 * 1 = 15 retângulos

O total será de:

60 + 45 + 30 + 15 =150 retângulos

Sendo assim, a alternativa E é o gabarito da questão.