GABARITO: LETRA E.

Para responder essa questão, vamos relembrar o conceito de derivada. Vejamos:

- A derivada é a taxa de variação de uma função y = f(x) em relação à x. E quando as derivadas existem, correspondem a inclinação de uma reta tangente do ângulo formado pela intersecção entre a reta e a curva da função y = f(x), isto é, o coeficiente angular da reta tangente à curva. Que é dada pela seguinte relação:

De acordo com essa relação, temos que a taxa de variação instantânea de uma função y = f(x) é dada por:

A questão pede dois números reais cuja a soma seja 12 e seu produto seja máximo.

Primeiramente, denotaremos os números procurados por x e y. Feito isso, montamos agora a função produto que maximiza esses dois números, veja:

P = x * y (1)

Sabendo que a soma desses dois números é 12, ficamos com a seguinte função:

x + y = 12

x = 12 - y (2)

Substituindo a equação (2) na equação (1), obtemos:

P = (12 - y) * y

Fazendo a distributiva, ficamos com:

P = 12y - y²

Assim, para determinarmos o máximo do produto, calculamos a primeira derivada da função, utilizando a seguinte propriedade, veja:

Aplicando a propriedade, obtemos:

P' = 12 - 2y

Feito isso, igualamos a função a zero para determinarmos o seu ponto de máximo veja:

12 - 2y = 0

-2y = -12

y = (-12)/(-2)

y = 6

Agora, vamos determinar o valor de x, para isso, substituímos y = 6 na função (2), veja:

x = 12 - y

x = 12 - 6

x = 6

Logo, os dois números reais procurados cuja a soma seja 12 e seu produto seja máximo é 6 e 6. Portanto, a alternativa correta é a letra E.