Alternativa CORRETA letra E. Resposta: y(x) = A . sen(x) + B cos(x)

Como a equação:

y" + y = 0

Estamos procurando uma função y na qual uma constante vezes a segunda derivada dessa função y", mais uma segunda constante vezes a função y é 0. Sabemos que a função

com r sendo uma constante, tem a propriedade de que sua derivada é um múltiplo por constante dela mesma, portanto temos:

derivada primeira:

derivada segunda:

Substituímos na equação:

temos que y é uma solução da equação se:

como y é diferente 0, temos que r² + 1 = 0, vamos encontrar as raízes dessa equação:

Da equação de segundo grau acima , encontramos as duas raízes:

Ou seja:

As duas raízes são complexas, a e b são números reais. Temos que a solução geral da Equação diferencial é dada por:

onde c1 e c2 são constantes, que geram todas as combinações lineares que também serão solução dessa equação. Substituindo as raízes na equação acima, temos:

Utilizando a equação de Euler:

Temos que r1= i e r2 = - i, portanto a= 0, b=1 e e⁰ = 1 :

Considere:

A = (c1 - c2)i

B = (c1 + c2)

Portanto a solução geral da equação é: