ALTERNATIVA D

Para a resolução precisamos recordar das definições de logaritmo e suas propriedades e fatoração.

Onde:

a - base

b - logaritmando

x - logaritmo (resultado)

Quando um logaritmo possui a base igual a 10, esse é chamado logaritmo decimal. Ao registrar-se um logaritmo decimal, não é necessário escrever a base 10. É convencionado que:

Lembrando que: Log 10 = 1

Os logaritmos possuem determinadas propriedades, as quais precisamos entender para resolver o enunciado.

1) Logaritmo do produto

O logaritmo do produto de dois fatores é igual à soma dos logaritmos desses fatores.

2) Logaritmo do quociente

O logaritmo do quociente entre dois números é igual à diferença dos logaritmos desses números.

3) Logaritmo de uma potência

O logaritmo de uma potência é igual à multiplicação do expoente dessa potência pelo logaritmo da base da potência, em que mantemos a base do logaritmo.

São essas propriedades que aplicaremos no nosso enunciado.

Primeiramente precisamos fatorar os números 108 e 72.

Assim temos que 108 = 2² * 3³

Assim temos que 72 = 2³ * 3²

Agora substituímos esses valores no enunciado.

(log 108 + log 72) / log 5

[ log (2² * 3³) + log (2³ * 3²) ] / log 5

Aplicamos a propriedade do log do produto no numerador:

(log 2² + log 3³ + log 2³ + log 3²) / log 5

Podemos aplicar agora a propriedade do log de potência:

(2 * log 2 + 3 * log 3 + 3* log 2 + 2* log 3 ) / log 5

O log 5 podemos usar o log do quociente:

(2 * log 2 + 3 * log 3 + 3* log 2 + 2* log 3 ) / log (10/2) =

(2 * log 2 + 3 * log 3 + 3* log 2 + 2* log 3 ) / log 10 - log 2

Agora é só substituir os valores para os logaritmos dados no enunciado.

(2 * log 2 + 3 * log 3 + 3* log 2 + 2* log 3 ) / log 10 - log 2 =

(2 * 0,3 + 3 * 0,47 + 3 * 0,3 + 2 * 0,47) / (1 - 0,3) =

3,85 / 0,7 = 5,5