Quadrado: Resumo para concursos

Olá alunos! Vocês estão bem? Na Geometria Plana, algumas figuras aparecem com frequência nas questões de Matemática por reunirem propriedades que facilitam diversos cálculos. Esse é o caso do quadrado, uma figura presente em problemas envolvendo área, perímetro, diagonais e composição de outras formas geométricas.

Em razão da relevância dessa figura geométrica nas provas de concursos públicos, neste artigo, vamos revisar sua definição, principais propriedades, fórmulas e para por em prática o conhecimento, vamos resolver questões.

Vamos lá?

O que é um quadrado?

Primeiramente, vamos entender o que é essa figura geométrica. O quadrado é um quadrilátero que possui quatro lados congruentes — isto é, de mesma medida — e quatro ângulos internos retos, cada um medindo 90°.

Além disso, seus lados opostos são paralelos. Por reunir essas características, o quadrado apresenta uma particularidade importante: ele é simultaneamente um retângulo e um losango.

Isso ocorre porque:

• Todo quadrado possui quatro ângulos retos, como o retângulo;
• Todo quadrado possui quatro lados iguais, como o losango.

Assim, podemos afirmar que todo quadrado é retângulo e losango, mas nem todo retângulo ou losango é quadrado.

Essa classificação é bastante relevante em provas, especialmente em questões conceituais que exploram as propriedades dos quadriláteros.

Propriedades do quadrado

O quadrado apresenta propriedades que devem ser conhecidas pelo candidato:

• Possui quatro lados de mesma medida;
• Seus quatro ângulos internos medem 90°;
• Os lados opostos são paralelos;
• Suas diagonais são congruentes;
• Suas diagonais são perpendiculares entre si;
• As diagonais se cruzam exatamente em seus pontos médios;
• Cada diagonal divide dois ângulos internos ao meio.

As diagonais do quadrado também possuem papel importante nos cálculos. Elas dividem a figura em dois triângulos retângulos congruentes e permitem estabelecer uma relação entre o lado e a diagonal.

Se o lado do quadrado mede $l$, sua diagonal mede: $x = l \sqrt{2}$

A figura abaixo ilustra melhor essa explicação:

Essa relação decorre do Teorema de Pitágoras, pois a diagonal funciona como a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos são dois lados do quadrado.

Fórmulas do quadrado

As principais fórmulas que o candidato deve memorizar são as seguintes.

Perímetro

O perímetro corresponde à soma dos quatro lados:

$P = 4l$

Assim, um quadrado de lado 6 cm possui perímetro igual a: $P = 4 x 6 = 24 cm$

Área

A área do quadrado é calculada pelo produto do lado por ele mesmo:

$A = l^2$

Portanto, se o lado mede 4 m:

$A = 4^2 = 16 m^2$

Observe que o resultado da área é expresso em unidade quadrada.

Diagonal

A diagonal é obtida por $d = l \sqrt{2}$

Se o lado mede 4 cm: $d = 4 \sqrt{2} cm$

Também é possível calcular a área diretamente a partir da diagonal: $A = \frac {d^2}{2}$

Essa fórmula pode ser útil quando o enunciado fornece a diagonal em vez da medida do lado.

Questões de concurso

Agora que já conhecemos o conceito e as fórmulas do quadrado, vamos à prática.

Ano: 2018 Banca: CESPE / CEBRASPE Órgão: IFF Prova: CESPE – 2018 – IFF – Conhecimentos Gerais – Cargo 24

Um quadrado tem todos os seus vértices sobre uma circunferência de 4 cm de raio. Nesse caso, a área desse quadrado é igual a

Alternativas

A – 4 cm² 

B – 8 cm² 

C – 16 cm²

D – 32 cm² 

E – 64 cm² 

Gabarito: Letra D.

Se o Raio mede 4 cm, a Diagonal do quadrado = 2×4 = 8 cm. Como temos a diagonal e queremos encontrar a área podemos utilizar a fórmula aprendida no tópico anterior: $A = \frac {d^2}{2}$

Assim, $A = \frac{8^2}{2}$

Logo, $A = \frac{64}{2}$

Chegamos a resposta $Área = 32 cm^2$

Vamos fazer mais uma questão para fixar o conteúdo?

Ano: 2019 Banca: UNESPAR Órgão: Prefeitura de Pinhais – PR Prova: UNESPAR – 2019 – Prefeitura de Pinhais – PR – Guarda Municipal

Qual é a área de um quadrado que possui 6 cm de comprimento?

Alternativas

A -15 cm².

B – 18 cm².

C – 20 cm².

D -25 cm².

E – 36 cm².

Gabarito – Letra E. Nesse caso, podemos utilizar a fórmula $A = l^2$, como temos o comprimento do lado, aplicamos na fórmula:$A = 6^2 = 36 cm^2$

Compilado de tudo o que vimos

Bom, agora vamos para as dicas gerais para você não errar na hora da prova. Alguns erros são recorrentes em questões sobre quadrados. O primeiro é confundir perímetro com área: o perímetro é medido em unidades lineares, enquanto a área é expressa em unidades quadradas.

Outro erro comum é esquecer que a diagonal não corresponde ao dobro do lado. A relação correta é: $d = l \sqrt{2}$

Também é importante não confundir as propriedades do quadrado com as de outros quadriláteros. Embora todo quadrado seja retângulo e losango, isso não significa que todos os retângulos e losangos tenham quatro lados iguais e quatro ângulos retos.

Por fim, atenção às unidades de medida e à interpretação do enunciado. Muitas questões fornecem a diagonal, o perímetro ou a área e solicitam a obtenção de outra medida. Portanto, o candidato deve saber as fórmulas de cabeça e na hora da prova precisa interpretar e saber substituir as incógnitas pelos números indicados no enunciado da questão.

Em resumo, o quadrado é um quadrilátero com quatro lados iguais e quatro ângulos retos. Suas principais fórmulas são:

• Perímetro: $P = 4l$
• Área: $A = l^2$
• Diagonal: $d = l\sqrt{2}$
• Área pela diagonal: $A = \frac{d^2}{2}$

Suas diagonais são iguais, perpendiculares, cruzam-se nos pontos médios e dividem os ângulos internos ao meio.

Dica: no quadrado, o perímetro envolve a soma dos quatro lados; a área envolve o lado ao quadrado; e a diagonal é o lado multiplicado por $\sqrt{2}$.

Considerações finais

Por fim, lembre que o quadrado é uma das figuras mais importantes da Geometria Plana e seu domínio é essencial para a resolução de diversas questões de Matemática em concursos públicos. Mais do que memorizar fórmulas, é importante compreender suas propriedades e saber identificar qual informação o enunciado apresenta: lado, perímetro, área ou diagonal.

Assim, espero que o artigo seja útil para a sua preparação. Desejo bons estudos e boa sorte em sua jornada!

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